برای اثبات اینکه قطرهای لوزی بر یکدیگر عمود منصف هستند، میتوانیم از چندین روش مختلف استفاده کنیم. یکی از این روشها استفاده از هندسه تحلیلی است. بیایید این را بررسی کنیم.
فرض کنید لوزی ABCD داریم که قطرهای آن AC و BD هستند و در نقطه O یکدیگر را قطع میکنند. چون لوزی یک متوازیالاضلاع خاص است و چهار ضلع آن با هم برابر هستند، میتوانیم خواص خاصی را به کار بگیریم:
1. در یک لوزی، قطرها برهم عمود هستند، یعنی زاویهٔ بین آنها /(90^/circ/) است.
2. در یک لوزی، هر دو قطر یکدیگر را نصف میکنند.
حال بیایید این خواص را با استفاده از مختصات نقاط ثابت کنیم. فرض کنید نقطه O وسط هر دو قطر است. بنابراین، اگر مختصات نقطه O را (0, 0) در نظر بگیریم، و مختصات چهار رأس لوزی را به ترتیب (a, b)، (-a, b)، (-a, -b)، و (a, -b) باشند. قطر AC از (a, b) به (-a, -b) و قطر BD از (-a, b) به (a, -b) خواهد بود.
با استفاده از فرمولهای طول بردار و زاویه، میتوانیم نشان دهیم که این قطرها برهم عمود هستند. زاویه بین دو بردار /( /mathbf{AC} /) و /( /mathbf{BD} /) برابر /(90^/circ/) خواهد بود. همچنین، چون نقاط وسط آنها یکسان است، هر دو قطر یکدیگر را نصف میکنند.
بنابراین، از این نتیجه میگیریم که در یک لوزی، قطرها بر یکدیگر عمود منصف هستند.
با رسم شکل میتونی بفهمی
